Fast Power

19% Accepted

Calculate the an % b where a, b and n are all 32bit integers.

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Example
For 231 % 3 = 2

For 1001000 % 1000 = 0

Challenge

• O(logn)

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• Divide and Conquer

思路

数学题，考察整数求模的一些特性，不知道这个特性的话此题一时半会解不出来，本题中利用的关键特性为：
(a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p
即 a 与 b 的乘积模 p 的值等于 a, b 分别模 p 相乘后再模 p 的值，只能帮你到这儿了，不看以下的答案先想想知道此关系后如何解这道题。

分三种情况讨论 n 的值，需要特别注意的是n == 0，虽然此时 a0的值为1，但是不可直接返回1，因为b == 1时应该返回0，故稳妥的写法为返回1 % b.
递归模型中，需要注意的是要分 n 是奇数还是偶数，奇数的话需要多乘一个 a, 保存乘积值时需要使用long型防止溢出，最后返回时强制转换回int。

class Solution {
    /*
     * @param a, b, n: 32bit integers
     * @return: An integer
     */
     public int fastPower(int a, int b, int n) {
        if (n == 1) {
            return a % b;
        } else if (n == 0) {
            return 1 % b;
        } else if (n < 0) {
            return -1;
        }

        // (a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p
        // use long to prevent overflow
        long product = fastPower(a, b, n / 2);
        product = (product * product) % b;
        if (n % 2 == 1) {
            product = (product * a) % b;
        }

        // cast long to int
        return (int) product;
    }
};

Non Recusion

• 利用二进制与多项式分解，快速幂非递归实现
• 这个思想太赞了，好些这种涉及幂次的非递归写法，都可以利用这个二进制与多项式

public class Solution {
    /**
     * @param a: A 32bit integer
     * @param b: A 32bit integer
     * @param n: A 32bit integer
     * @return: An integer
     */
    public int fastPower(int a, int b, int n) {
        // write your code here
        if (n < 0) {
            return -1;
        }

        if (n == 0) {
            return 1 % b;
        }


        long ans = 1;
        long temp = a;
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) != 0) {  // 等价于 if (n % 2 != 0)
                ans = (ans  * temp) % b;
            }

            temp = (temp * temp) % b;
            n = n >> 1;  //右移一位相当于n/2(类比十进制来理解)
        }   
        return (int)ans % b;
    }
}