Unique Binary Search Trees

32% Accepted

Given n, how many structurally unique BSTs (binary search trees) that store values 1...n?

Have you met this question in a real interview? Yes
Example
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1           3    3       2      1
 \         /    /       / \      \
  3      2     1       1   3      2
 /      /       \                  \
2     1          2                  3

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• Catalan Number
• Dynamic Programming
• 从每棵树的根节点去思考

思路

来自水中的鱼 Leetcode Most Vote

这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。
 1                1                      2                       3             3
    \                 \                 /      \                  /              /
      3               2              1       3               2             1
    /                   \                                       /                  \
 2                       3                                   1                    2

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}， 那么有如下两种可能
1                       2
  \                    /
    2                1
Count[2] = Count[0] * Count[1]   (1为根的情况)
                  + Count[1] * Count[0]  (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]*Count[2]  (1为根的情况)
               + Count[1]*Count[1]  (2为根的情况)
               + Count[2]*Count[0]  (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i]     0<=k<i-1
问题至此划归为一维动态规划。

public class Solution {
    /*
    state:
    dp[i] means num of trees in i nodes
    function:
    dp[i] = dp[0]*dp[i - 1] + dp[1]*dp[i - 2]...
    initialize:
    dp[0] = 1
    dp[1] = 1
    answer:
    dp[n]
    */
    public int numTrees(int n) {
        if (n < 0) {
            return -1;
        }
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }

        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}